Informations chiffrées

Ce cours est organisé à partir d'une séquence de vidéos youtube conformes au programme. Chaque partie de cours est détaillée dans la vidéo qui suit et les exercices sont corrigés par le professeur.

ITaux et indices

Le taux d'évolution $t$ permettant de passer d'une valeur $y_1$ à une valeur $y_2$ se calcule par : $$ t=\frac{y_2 - y_1}{y_1} $$ Le taux d'évolution en pourcent $a$ est : $$ a= t \times 100 $$

Si $t \gt 0$ c'est une augmentation
Si $t \lt 0$ c'est une diminution

Exercice 1 Nous présentons le bilan général des retraites en milliard d'euros en 2001, 2002 : $$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Années} & 2001 & 2002 & 2003 \\ \hline \text {Recettes} & 68573 & 70334 & \\ \hline \text {Dépenses} & 67055 & 68675 & \\ \hline \text {Solde} & & & \\ \hline \end{array} $$

1 Calculer le solde en 2001 et en 2002

2 Quel pourcentage représente le solde par rapport aux recettes pour chaque année (arrondir à $10^{-2} près$) ?

3 Calculer les taux d'évolution en pourcent des recettes entre 2001 et 2002. Des dépenses.

4 Si les taux d'évolution entre 2002 et 2003 restent les mêmes, faire le bilan des recettes et des dépenses.

IIIndice simple en base 100

L'indice à la date $k$ vaut : $$ \frac{\text{valeur à la date }k}{\text{valeur à la date de référence}} \times 100 $$ (voir introduction de la vidéo)

Exercice 2 Nous observons l'évolution de la cotisation en bourse sur 5 mois : $$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Date} & Juin 05 & Juill 05 & Aout 05 & Sept 05 & Oct 05 \\ \hline \text {Valeur en €} & & & & & \\ \hline \text {Indice} & 49,35 & 48,98 & 51,32 & 53,18 & 52,16 \\ \hline \text {Solde} & 100 & & & & \\ \hline \end{array} $$

1 Compléter la ligne des indices

IIITaux d'évolution global, Taux moyen

1Taux global : deux évolutions successives

On se trouve dans la situation de deux évolutions successives. $V_1$ la première valeur, passe à $V_2$ puis à $V_3$. Le premier coefficient multiplicateur vaut $CM1$ et le deuxième $CM2$ : $$ V_1 \overset{\times CM1}{\longrightarrow} V_2 \overset{\times CM2}{\longrightarrow}V_3 $$

Le coefficient multiplicateur global $CM = CM1 \times CM2$
Le taux global vérifie $1+t = (1 + t1) \times ( 1 + t2) $

Exercice 3 Dans une entreprise, le budget publicitaire augmente de 15% en 2004, puis de 8% en 2005.

1 Calculer le coefficient multiplicateur $CM1$ correspondant à la première augmentation en 2004.

2 Calculer $CM2$ correspondant à la deuxème augmentation en 2005.

3 Calculer le coefficient multiplicateur global. En déduire le taux d'évolution global.

2Taux moyen : deux évolutions successives

Le taux moyen d'évolution correspondant à deux évolutions succesives de taux respectifs $t_1$ et $t_2$ est le taux $t$ qui répété deux fois fournirait le même taux global $T$. $$ 1 + T = (1 + t_1) \times (1 + t_2) = (1 + t)^2 $$ donc à partir de \(\T

on calcule $t$ par la formule : $$ 1 + t = \sqrt{1 + T} $$ )

Exercice 4 On reprent l'exercice précédent :

1 Calculer taux moyen $t$. Arrondir à $10^{-2}$ près.

3Racine $n$-ième d'un nombre positif

On dit que $a$ est la racine $n$-ième d'un nombre $x$ si : $$ a^n = x $$ On note aussi ce nombre : $$ a = x^{\frac{1}{n}} $$

Sur la calculatrice, pour calculer par exemple $2^{\frac{1}{3}}$, on peut taper

2^(1/3)

Exercice 5 A l'aide de la calculatrice, déterminer à $10^{-2}$ près le nombre $x$ positif tel que $x^3 = 1,5$.

4Cas de $n$ évolutions successives

On se trouve dans la situation de $n$ évolutions successives qui généralise le cas $n=2$ : $$ V_0 \overset{\times CM1}{\longrightarrow} V_1 \overset{\times CM2}{\longrightarrow}V_2 \overset{\times CM3}{\longrightarrow} ... \overset{\times CMn}{\longrightarrow} V_n $$ On note $t_1, t_2, ..., t_n$ les taux d'évolution.

Le taux global $T$ vérifie : $$ 1+T=(1+t_1)\times (1+t_2)\times ... \times (1+t_n) $$ Le taux moyen $t$ vérifie : $$ (1+t)^n = 1+T $$ Et donc : $$ 1+t = (1+T)^{\frac{1}{n}} $$

Exercice 6 Nous étudions les évolutions du SMIC horaire sur trois années :

En 2001, il augmente de 5,2%
En 2002, il augmente de 3,2%
En 2003, il augmente de 3,8%

1 Calculer les coefficients multiplicateurs $CM1, CM2$ et $CM3$ pour chaque année.

2 Calculer le coefficient multiplicateur global $CM$. En déduire le taux global $T$.

3 Calculer le taux moyen $t$ sur les 3 années.

Exercice 7 Le prix du baril de pétrole a augmenté de 17,5% en un an. Calculer le taux moyen mensuel